Question

5．已知f（$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{{2}^{n}}$）-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，令U_n=$\frac{f（\frac{1}{{2}^{n}}）}{n}$，则{U_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$-1．

Answer 1

分析 f（$\frac{1}{{2}^{n}}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{1}{{2}^{n}}$=…=（$\frac{1}{2}$）^n-1f（$\frac{1}{2}$）-$\frac{n-1}{{2}^{n}}$=-$\frac{n}{{2}^{n}}$，再根据等比数列的求和公式计算即可．

解答 解：∵f（$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{{2}^{n}}$）-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴f（$\frac{1}{{2}^{n}}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{1}{{2}^{n}}$=（$\frac{1}{2}$）²f（$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）-$\frac{2}{{2}^{n}}$=（$\frac{1}{2}$）³f（$\frac{1}{{2}^{n-3}}$）-$\frac{3}{{2}^{n}}$=…=（$\frac{1}{2}$）^n-1f（$\frac{1}{2}$）-$\frac{n-1}{{2}^{n}}$=-（$\frac{1}{2}$）ⁿ-$\frac{n-1}{{2}^{n}}$=-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴U_n=$\frac{f（\frac{1}{{2}^{n}}）}{n}$=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴{U_n}的前n项和T_n=-$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-1，
故答案为：$\frac{1}{{2}^{n}}$-1

点评 本题考查了数列的函数特征，由函数关系式可得数列的通项公式是关键，属于中档题．