题目内容
12．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}\right.$（α为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为$ρcos（θ+\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$．（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．
分析 （Ⅰ）直线l的极坐标方程转化为$ρ（\frac{1}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）=\sqrt{3}$，由此能求出直线l的直角坐标方程．曲线C的参数方程消去参数α，能求出曲线C的普通方程．
（Ⅱ）设点$P（3cosα，\sqrt{3}sinα）$为曲线C上任意一点，利用点到直线的距离公式及三角函数性质能求出点P到直线l的距离的最大值．
解答 解：（Ⅰ）因为直线l的极坐标方程为$ρcos（θ+\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$，
即$ρ（\frac{1}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）=\sqrt{3}$，
∴直线l的直角坐标方程为$x-\sqrt{3}y-2\sqrt{3}=0$．
曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}\right.$（α是参数），
利用同角三角函数的基本关系消去α，
可得曲线C的普通方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）设点$P（3cosα，\sqrt{3}sinα）$为曲线C上任意一点，
则点P到直线l的距离$d=\frac{{|3cosα-3sinα-2\sqrt{3}|}}{2}=\frac{{|3\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{4}）-2\sqrt{3}|}}{2}$，
故当$cos（α+\frac{π}{4}）=-1$时，d取最大值为$\frac{{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}}{2}$．
点评 本题考查直线的直角坐标方程的求法，考查曲线的普通方程的求法，考查点到直线的距离的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
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