题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，PB=PD，且EF分别是BC，CD的中点．求证：（1）EF∥平面PBD；
（2）平面PEF⊥平面PAC．
考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）欲证明线面平行，需转化为线线平行．
（2）欲证明面面垂直，需转化为线线垂直．
（2）欲证明面面垂直，需转化为线线垂直．
解答：
证明：（1）∵E，F分别是BC，CD的中点，
∴EF∥BD，
∵EF不包含于平面PBD，BD?平面PBD，
∴EF∥平面PBD．
（2）设BD∩AC=O，连结PO，
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是BD中点，
又PB=PD，
∴BD⊥PO，
又EF∥BD，
∴EF⊥AC，EF⊥PO．
又AC∩PO=O，AC?平面PC，PO?平面PAC，
∴EF⊥平面PAC．
∵EF?平面PEF，
∴平面PEF⊥平面PAC．
∴EF∥BD，
∵EF不包含于平面PBD，BD?平面PBD，
∴EF∥平面PBD．
（2）设BD∩AC=O，连结PO，
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是BD中点，
又PB=PD，
∴BD⊥PO，
又EF∥BD，
∴EF⊥AC，EF⊥PO．
又AC∩PO=O，AC?平面PC，PO?平面PAC，
∴EF⊥平面PAC．
∵EF?平面PEF，
∴平面PEF⊥平面PAC．
点评：本题考查直线平面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
相关题目
已知两点A（2，3），B（-4，5），则与
共线的单位向量是（ ）
| AB |
A、
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B、
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C、
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D、
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