Question

哈尔滨市五一期间决定在省妇女儿中心举行中学生“蓝天绿树、爱护环境”围棋比赛，规定如下：两名选手比赛时每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多3分或打满7局时停止．设某学校选手甲和选手乙比赛时，甲在每局中获胜的概率为p（p＞

1

2

），且各局胜负相互独立．已知第三局比赛结束时比赛停止的概率为

1

3

．
（1）求p的值；
（2）求甲赢得比赛的概率；
（3）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由已知得p3+(1-p)3=

1

3

，由此能求出p=

2

3

．
（2）那么对于甲赢得比赛，需要分为两种情况，连胜三局，或者比赛7局，前6局胜出两局，最后一局甲赢，由此能求出其概率值．
（3）结合题意，X表示比赛停止时已比赛的局数，可知X的可能取值为3，5，7，分别得分为3：0，4：1，5：2，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）根据题意，由于某学校选手甲和选手乙比赛时，
甲在每局中获胜的概率为p（p＞

1

2

），且各局胜负相互独立．
已知第三局比赛结束时比赛停止的概率为

1

3

，
而要是停止的前提是比赛进行到有一人比对方多3分停止，且两名选手比赛时每局胜者得1分，负者得0分，
那么可知p3+(1-p)3=

1

3

，解得p=

2

3

．
（2）那么对于甲赢得比赛，需要分为两种情况，连胜三局，或者比赛7局，前6局胜出两局，最后一局甲赢，
那么可知其概率值为：p3(1-p)3+

C

2 6

p2(1-p)4p=

152

243

．
（3）结合题意，X表示比赛停止时已比赛的局数，
可知X的可能取值为3，5，7，分别得分为3：0，4：1，5：2，
其概率值为P（X=3）=

1

3

，P（X=5）=

2

9

，P（X=7）=

4

9

，
X的分布列为：

X	3	5	7
P	1 3	2 9	4 9

期望EX=3×

1

3

+5×

2

9

+7×

4

9

=

47

9

．

点评：本题主要是考查了分布列的运用，以及古典概型的概率的运用，属于中档题．