Question

（1）已知f（x）=

lnx

x

，g（x）=（x-e）²+

1

e

，x＞0，求f（x）的最大值；比较f（x）与g（x）的大小并说明理由．
（2）已知函数f（x）=tanx-x，0＜x＜

π

2

，证明：当0＜x＜

π

2

时，tanx＞x．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′(x)=

1-lnx

x2

，x＞0，由此利用导数性质能推导出g（x）≥f（x），当且仅当x=e时取等号．
（2）由已知得f′(x)=(

sinx

cosx

)′-1=

cos2x+sin2x

cos2x

-1=

sin2x

cos2x

＞0，由此利用导数性质能证明当0＜x＜

π

2

时，tanx＞x．

解答： （1）解：f′(x)=

1-lnx

x2

，x＞0，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，
当x＞e时，f′（x）＜0，且f′（e）=0，
所以f（x）_max=f（x）_极大值=f（e）=

1

e

，即f（x）≤

1

e

，
而g（x）=（x-e）²+

1

e

≥

1

e

，
故g（x）≥f（x），当且仅当x=e时取等号．
（2）证明：f′(x)=(

sinx

cosx

)′-1=

cos2x+sin2x

cos2x

-1=

sin2x

cos2x

＞0，
所以函数f（x）在区间（0，

π

2

）上为增函数，而x＞0，
所以f（x）＞f（0）=tan0-0=0，
故当0＜x＜

π

2

时，tanx＞x．

点评：本题考查两式大小的比较，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．