Question

在平面直角坐标系中，已知三个点列{A_n}、{B_n}、{C_n}，其中A_n（n，a_n）、B_n（n，b_n）、C_n（n-1，0）满足：向量

AnAn+1

与向量

BnCn

共线，且点列{B_n}在方向向量为（1，6）的直线上，a₁=a，b₁=-a．
（1）试用a与n表示a_n（n≥2）；
（2）若a₆与a₇两项中至少有一项是a_n的最小值，试求a的取值范围．

Answer 1

考点：数列与向量的综合

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法,平面向量及应用

分析：（1）由点的坐标求出向量

AnAn+1

与

BnCn

的坐标，再由

AnAn+1

与

BnCn

共线得到点列A_n、B_n的纵坐标的关系，由直线的方向向量求出直线的斜率，利用斜率公式即可得数列{b_n}为等差数列，从而求出数列{b_n}的通项公式，然后利用累加法和等差数列的前n项和公式求解；
（2）将数列{a_n}的通项公式用a表示，发现其函数模型为二次函数，在a₆与a₇两项中至少有一项是数列{a_n}的最小项，则确定了对称轴的范围，从而解得a的范围．

解答： 解：（1）由A_n（n，a_n）、B_n（n，b_n）、C_n（n-1，0），
得：

AnAn+1

=（1，a_n+1-a_n），

BnCn

=（-1，-b_n）．
∵向量

AnAn+1

与向量

BnCn

共线，
∴1×（-b_n）-（-1）×（a_n+1-a_n）=0，即a_n+1-a_n=b_n．
又{B_n}在方向向量为（1，6）的直线上，
∴

bn+1-bn

n+1-n

=6，即b_n+1-b_n=6．
∴b_n=b₁+6（n-1）=-a+6（n-1），
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1
=a+（-a）+（-a+6）+（-a+6×2）+…+[-a+6（n-2）]
=6[1+2+…+（n-2）]-a（n-1）
=6×

(1+n-2)(n-2)

2

-a（n-1）
=3（n-1）（n-2）-a（n-1）
=3n²-（9+a）n+6+2a（n≥2）；
（2）二次函数f（x）=3x²-（9+a）x+6+2a的图象是开口向上，对称轴为x=

a+9

6

的拋物线．
又∵在a₆与a₇两项中至少有一项是a_n的最小值，故对称轴x=

a+9

6

在[

11

2

，

15

2

]内，
即

11

2

≤

a+9

6

≤

15

2

，
∴24≤a≤36．

点评：本题考查了向量的坐标运算，考查了向量共线的条件，考查了等差关系的确定，训练了利用类加法求数列的和，训练了二次函数最值的求法，是中高档题．