Question

已知圆O的半径为R （R为常数），它的内接三角形ABC满足2R(sin2A-sin2C)=(

2

a-b)sinB成立，其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，求三角形ABC面积S的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：已知等式两边乘以2R，利用正弦定理化简得到关系式，再利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosC的值，确定出C度数，进而求出A+B度数，用B表示出A，利用三角形面积公式变形出S，利用积化和差公式变形后，根据余弦函数的值域即可确定出S的最大值．

解答： 解：由2R（sin²A-sin²C）=（

2

a-b）sinB，
∴4R²（sin²A-sin²C）=2R（

2

a-b）sinB，
由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入得a²-c²=

2

ab-b²，即a²+b²-c²=

2

ab，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

2

，
∴C=

π

4

，即A+B=

3π

4

，
∴S=

1

2

absinC=

2

4

ab=

2

4

•4R²sinAsinB=

2

R²sinAsin（

3π

4

-A）=-

2

2

R²[cos

3π

4

-cos（2A-

3π

4

）]=

2

2

R²cos（2A-

3π

4

）+

1

2

R²，
当且仅当A=B=

3

8

π时，cos（2A-

3π

4

）_max=1，
则S_max=

2 +1

2

R²．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．