Question

17．定义运算：$|\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{{a}_{2}}\\{{a}_{3}}&{{a}_{4}}\end{array}|$=a₁a₄-a₂a₃，将函数f（x）=$|\begin{array}{l}{\sqrt{3}}&{sinωx}\\{1}&{cosωx}\end{array}|$（ω＞0）的图象向左平移$\frac{2π}{3}$个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{7}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 化函数f（x）为余弦型函数，写出f（x）图象向左平移$\frac{2π}{3}$个单位后对应的函数y，由函数y为偶函数，求出ω的最小值．

解答 解：函数f（x）=$|\begin{array}{l}{\sqrt{3}}&{sinωx}\\{1}&{cosωx}\end{array}|$=$\sqrt{3}$cosωx-sinωx=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0），
f（x）的图象向左平移$\frac{2π}{3}$个单位，所得图象对应的函数为
y=2cos[ω（x+$\frac{2π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=2cos（ωx+$\frac{2ωπ}{3}$+$\frac{π}{6}$）；
又函数y为偶函数，
∴$\frac{2ωπ}{3}$+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
解得ω=$\frac{3k}{2}$-$\frac{3}{12}$，k∈Z；
当k=1时，ω取得最小值是$\frac{5}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的化简与图象平移的应用问题，是基础题．