Question

7．已知平面直角坐标系内三点A、B、C在一条直线上，满足$\overrightarrow{OA}$=（-3，m+1），$\overrightarrow{OB}$=（n，3），$\overrightarrow{OC}$=（7，4），且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，其中O为坐标原点．
（1）求实数m，n的值；
（2）设△AOC的重心为G，且$\overrightarrow{OG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，求cos∠AOC的值．

Answer 1

分析 （1）由题意，$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{OA}⊥$$\overrightarrow{OB}$，利用平面向量的坐标表示列出方程组，求出m、n；
（2）由三角形重心的性质，结合平面向量的坐标运算，利用夹角公式即可求出答案．

解答 解：（1）因为三点A，B，C在一条直线上，所以$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{BC}$，
又$\overrightarrow{AB}=（n+3，2-m）$，$\overrightarrow{BC}=（7-n，1）$，
所以n+3=（7-n）（2-m），①
因为$\overrightarrow{OA}⊥$$\overrightarrow{OB}$，所以-3n+3（m+1）=0，即n=m+1，②
由①、②解得$\left\{\begin{array}{l}m=8\\ n=9\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ n=2\end{array}\right.$；
（2）因为G为△OAC的重心，且$\overrightarrow{OG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$，
所以点B为线段AC的中点，
所以m=1，n=2；
所以$\overrightarrow{OA}=（-3，2）$，$\overrightarrow{OC}=（7，4）$，
因此$cos∠AOC=\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}}}{{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OC}|}}=\frac{-21+8}{{\sqrt{13}•\sqrt{65}}}=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示以及三角形重心的性质和平面向量的夹角公式问题，是综合题．