题目内容

5．高二一班有A，B两个社会实践活动小组，每组七个人，现从每组中各选出一个人分别完成一项手工作品，每位成员完成作品所需要的时间（单位：小时）如下所示
A组：10，11，12，13，14，15，16；
B组：12，13，15，16，17，14，a
假设A、B两组每位成员被选出的可能性均等，从A组选出的人记为甲，从B组选出的人记为乙
（1）如果a=18，求甲所用时间比乙所用时间长的概率；
（2）如果a=14，设甲与乙所用时间都低于15，记甲与乙的所用时间的差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望．

分析 （1）当a=18时，基本事件总数n=7×7=49，利用列举法求出甲所用时间a比乙所用时间b长包含的基本事件（a，b）的个数，由此能求出甲所用时间比乙所用时间长的概率．
（2）a=14，设甲与乙的康复时间都低于15，甲的康复时间与乙的康复时间的差的绝对值为X，由题意X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）当a=18时，A、B两组每位成员被选出的可能性均等，从A组选出的人记为甲，从B组选出的人记为乙，
基本事件总数n=7×7=49，
甲所用时间a比乙所用时间b长包含的基本事件（a，b）有：
（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，13），（16，12），（16，13），（16，15），共8个，
∴甲所用时间比乙所用时间长的概率p=$\frac{8}{49}$．
（2）∵a=14，设甲与乙的康复时间都低于15，
甲的康复时间与乙的康复时间的差的绝对值为X，
∴X的可能取值为0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{1}{5}+\frac{1}{4}×\frac{1}{5}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=1）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{2}+\frac{1}{5}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{5}+\frac{1}{5}×\frac{1}{2}=\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}+\frac{1}{5}×\frac{1}{4}+\frac{1}{5}×\frac{1}{4}+\frac{1}{5}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
P（X=3）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}+\frac{1}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{20}$，
P（X=4）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{10}$，
∴X的分布列为：

 X 0 1 2 3 4
 P $\frac{1}{5}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{20}$ $\frac{1}{10}$
EX=$0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{4}+3×\frac{3}{20}+4×\frac{1}{10}$=$\frac{33}{20}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题．

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