Question

13．下列命题中的假命题是（　　）

• A． log₂3＜log₃5
• B． ?x∈（-∞，0），e^x＞x+1
• C． ${log_{\frac{1}{2}}}3＜{（\frac{1}{2}）^3}＜{3^{\frac{1}{2}}}$
• D． ?x＞0，x＞sinx

Answer 1

分析 对于A．log₂3＞$lo{g}_{2}\sqrt{8}$=$\frac{3}{2}$，log₃5＜$lo{g}_{3}\sqrt{27}$=$\frac{3}{2}$，即可判断出真假．
对于B．?x∈（-∞，0），令f（x）=e^x-x-1，利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可判断出真假．
对于C．根据$lo{g}_{\frac{1}{2}}3$＜0＜$\frac{1}{8}$=$（\frac{1}{2}）^{3}$＜1$＜\sqrt{3}$=${3}^{\frac{1}{2}}$，即可判断出真假．
对于D．令f（x）=x-sinx，x∈（0，+∞），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：对于A．∵log₂3＞$lo{g}_{2}\sqrt{8}$=$\frac{3}{2}$，log₃5＜$lo{g}_{3}\sqrt{27}$=$\frac{3}{2}$，∴log₂3＞log₃5，因此是假命题．
对于B．?x∈（-∞，0），令f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1＜0，因此函数f（x）单调递减，∴f（x）＞f（0）=0，∴e^x＞x+1，因此是真命题．
对于C．∵$lo{g}_{\frac{1}{2}}3$＜0＜$\frac{1}{8}$=$（\frac{1}{2}）^{3}$＜1$＜\sqrt{3}$=${3}^{\frac{1}{2}}$，因此是真命题．
对于D．令f（x）=x-sinx，x∈（0，+∞），则f′（x）=1-cosx≥0，因此函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，因此是真命题．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．