Question

8．已知双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），与双曲线C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）相交于A、B、C、D四点，若双曲线C₁的一个焦点为F（-$\sqrt{2}$，0），且四边形ABCD的面积为$\frac{16}{3}$，则双曲线C₁的离心率为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先联立方程组可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得x=y=±$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}}$，求出四边形的边长，再根据面积得打a，b的方程，再根据a²+b²=c²=2，解得a的值，再根据离心率公式计算即可．

解答 解：联立方程组可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得x=y=±$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}}$，
∵AB=AD=$\frac{2ab}{\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}}$，
∴$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{16}{3}$，
∴$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
即$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，①
∵a²+b²=c²=2，②，
由①②，解得a=2（舍去）或a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了双曲线的简单性质和离心率的问题，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题