Question

2．已知函数f（x）满足f（x）=f（-x），且当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf'（x）＜0成立，若a=（2^0.6）•f（2^0.6），b=（ln2）•f（ln2），c=（${{{log}_2}\frac{1}{8}}$）•f（${{{log}_2}\frac{1}{8}}$），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A． a＞b＞c
• B． c＞b＞a
• C． a＞c＞b
• D． c＞a＞b

Answer 1

分析 根据题意，构造函数h（x）=xf（x），则a=h（2^0.6），b=h（ln2），c=（${{{log}_2}\frac{1}{8}}$）•f（${{{log}_2}\frac{1}{8}}$）=h（-3），分析可得h（x）为奇函数且在（-∞，0）上为减函数，进而分析可得h（x）在（0，+∞）上为减函数，分析有${{{log}_2}\frac{1}{8}}$＜0＜ln2＜1＜2^0.6，结合函数的单调性分析可得答案．

解答 解：根据题意，令h（x）=xf（x），
h（-x）=（-x）f（-x）=-xf（x）=-h（x），则h（x）为奇函数；
当x∈（-∞，0）时，h′（x）=f（x）+xf'（x）＜0，则h（x）在（-∞，0）上为减函数，
又由函数h（x）为奇函数，则h（x）在（0，+∞）上为减函数，
a=（2^0.6）•f（2^0.6）=h（2^0.6），b=（ln2）•f（ln2）=h（ln2），c=（${{{log}_2}\frac{1}{8}}$）•f（${{{log}_2}\frac{1}{8}}$）=h（${{{log}_2}\frac{1}{8}}$）=h（-3），
因为${{{log}_2}\frac{1}{8}}$＜0＜ln2＜1＜2^0.6，
则有c＞a＞b；
故选：D．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数h（x）=xf（x），并分析h（x）的奇偶性与单调性．