Question

18．等边三角形ABC中，若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，则当$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$取得最小值时，λ=（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平行线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设等边三角形的边长为2，根据向量的坐标运算和向量的数量积，结合二次函数的性质即可求出．

解答 解：以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平行线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
设等边三角形的边长为2，
则A（-1，0），B（1，0），C，（0，$\sqrt{3}$），
设P（x，y），
∵$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，
∴（x+1，y）=λ（2，0）+（1，$\sqrt{3}$），
∴x=2λ，y=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=（1-x，-y）•（-x，$\sqrt{3}$-y）=-x（1-x）-y（$\sqrt{3}$-y）=2λ（2λ-1）=4（λ-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{4}$，
当λ=$\frac{1}{4}$时，有最小值，
故选：A

点评 本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积的运算，属于中档题