Question

设定义域都为[

2

，8]的两个函数f（x）和g（x），其解析式分别为f（x）=log₂^x-2和g（x）=log₄^x-

1

2

（1）求函数y=f（x）的最值；
（2）求函数G（x）=f（x）•g（x）的值域．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的单调性进行求函数的最大最小值；
（2）利用换元法求函数的值域，注意自变量的取值范围．

解答： 解：（1）∵y=log2x在x∈[

2

，8]上单调递增函数…（2分）
∴log2

2

≤log2x≤log28，即log2x∈[

1

2

，3]…（4分）
∴log2x-2∈[-

3

2

，1]…（5分）
∴函数f（x）的值域是[-

3

2

，1]；
故函数f（x）的最小值是-

3

2

，最大值是1；
（2）G（x）=（log₂x-2）（log₄-

1

2

）
=（log₂x-2）（

1

2

log2x-

1

2

)

=

1

2

[(log2x)2-3log2x+2]…（8分）
令t=log2x，x∈[

2

，8]，t∈[

1

2

，3]…（10分）
∴y=

1

2

(t2-3t+2)，t∈[

1

2

，3]
∴y=

1

2

(t-

3

2

)2-

1

8

，t∈[

1

2

，3]
∴t=

3

2

时，y取最小值，ymin=-

1

8

…（11分）
t=3时，y取最大值，y_max=1…（12分）
∴G(x)的值域为[-

1

8

，1]…（13分）

点评：本题主要考查函数的单调性以及函数最值得求法，属于基础题．