Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=0且a=4，b+c=5．求△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）首先利用三角恒等变换把函数关系式转化成正弦型函数，进一步求出最小正周期和单调区间．
（2）利用（1）的结论，先根据角A的范围，利用f（A）=0先求出A的值，进一步利用余弦定理求出
bc=3，再利用三角形的面积公式求出结果．

解答： 解：（1）函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1，
则：函数的最小正周期：T=

2π

2

=π
令：-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：-

π

6

+kπ≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）
则：函数f（x）的单调递增区间为：[-

π

6

+kπ，kπ+

π

3

]（k∈Z）
（2）由（1）得：f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，
则：f(A)=sin(2A-

π

6

)-1=0
由于：0＜A＜π
所以：-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

2A-

π

6

=

π

2

解得：A=

π

3

由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA
解得：bc=3
S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

3

点评：本题考查的知识点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期和单调区间的确定，利用角的范围确定角的大小，余弦定理得应用，三角形面积的应用．