Question

某学校为调查高二年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取200名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））．已知图（1）中身高在170～175cm的男生人数有48人．

（Ⅰ）在抽取的学生中，身高不超过165cm的男、女生各有多少人？并估计男生的平均身高．
（Ⅱ）在上述200名学生中，从身高在170～175cm之间的学生按男、女性别分层抽样的方法，抽出7人，从这7人中选派4人当旗手，求4人中至少有一名女生的概率．

Answer 1

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（I）由图（1）知：身高在170～175cm的男生的频率为0.08×5=0.4，进而点到男生总人数与女生总人数，根据身高不超过165cm的男生女生的频率即可得出人数，取男生的每一组的中点乘以人数的和即可得出平均身高．
（II）分别计算出身高在170～175cm之间的学生按男生女生人数，按比例得出抽出7人中，有6个男生，1个女生，而这7人中选派4人当旗手的方法数共有

∁

4 7

（种），4人中至少有一名女生的方法数为

∁

3 6

（种），利用古典概型的概率计算公式即可得出．

解答： 解：（I）由图（1）知：身高在170～175cm的男生的频率为0.08×5=0.4，
设男生总人数为m，则m×0.4=48，∴m=120（人），
∴女生总人数为200-120=80（人），
∴身高不超过165cm的男生有120×0.01×5=6（人），
身高不超过165cm的女生有80×（0.02+0.06+0.06）×5=56（人），
男生的平均身高为：162.5×0.01×5+167.5×0.04×5+172.5×0.08×5+177.5×0.04×5
+182.5×0.02×5+187.5×0.01×5=173.75（cm）．
（II）身高在170～175cm之间的学生按男生为120×0.08×5=48（人），
身高在170～175cm之间的学生按女生为80×0.02×5=8（人），
∵48：8=6：1，∴抽出7人中，有6个男生，1个女生，
∴这7人中选派4人当旗手的方法数共有

C

4 7

=35（种），
4人中至少有一名女生的方法数为

C

3 6

=20（种），
∴4人中至少有一名女生的概率为p=

20

35

=

4

7

．

点评：本题考查了频率分布直方图的有关知识与计算、古典概型的概率计算公式，考查了学会看图及用图，考查了计算能力，属于中档题．