Question

已知f（x）为奇函数，当x∈[0，2]时，f（x）=-x²+2x；当x∈（2，+∞）时，f（x）=2x-4，若关于x的不等式f（x+a）＞f（x）有解，则a的取值范围为

 

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Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：根据题意画出函数f（x）的图象，根据图象及函数f（x）的单调性，f（x+a），和f（x）的取值即可找出a的范围．

解答： 解：由题意作出函数f（x）的图象，如图所示：若a＞0，则x≥2时，x+a＞2，x+a＞x；
f（x）在[2，+∞）上单调递增，所以f（x+a）＞f（x），即该不等式有解；
若a＜0，x+a＜x，若x≥2，则x+a≥2+a，要使不等式f（x+a）＞f（x）有解，需2+a＞0，即a＞-2；
若0≤x＜2，则a≤x+a＜2+a，则需2+a＞0，即a＞-2时，f（x+a）＞f（x）有解；
若-2＜x＜0，-2+a＜x+a＜a，则需a＞-2，不等式f（x+a）＞f（x）有解；
若x≤-2，x+a≤a-2＜-2，函数f（x）在（-∞，-2]为增函数，所以f（x+a）＜f（x），即不等式f（x+a）＞f（x）无解；
综上得a的取值范围是（-2，0∪（0，+∞）．
故答案为：（-2，0）∪（0，+∞）．

点评：考查奇函数的概念，二次函数图象，奇函数图象关于原点的对称性，以及函数单调性的定义．