Question

已知A（2，l），B（3，2），若线段AB（不含端点A、B）与椭圆（m-1）x²+my²=1总有交点，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆的方程求出m的范围，写出线段AB（不含端点A、B）的方程，与椭圆方程组成方程组，求出方程组有解时m的取值范围，从而求出m的取值范围．

解答： 解：∵椭圆（m-1）x²+my²=1，
∴

m-1＞0 m＞0

，
解得m＞1；
又∵线段AB（不含端点A、B）的方程为
x-y-1=0（2＜x＜3），
与椭圆（m-1）x²+my²=1有交点，
∴

x-y-1=0 (m-1)x2+my2=1

；
消去y，得（m-1）x²+m（x-1）²=1，
整理得（2m-1）x²-2mx+m-1=0，
设f（x）=（2m-1）x²-2mx+m-1，
当m＞1时，二次函数f（x）的对称轴为
x=-

-2m

2(2m-1)

=

m

2m-1

＜1，
∴f（x）在（2，3）上是增函数；
∴

f(2)＜0 f(3)＞0

，
即

5m-5＜0 13m-10＞0

，
解得

10

13

＜m＜1；
综上，m的取值范围是∅．
故答案为：∅．

点评：本题考查了直线与椭圆方程的方程的应用问题，解题时应利用直线方程与椭圆方程组成方程组，利用根的存在性定理判断解的情况，是难题．