Question

随着恩施经济的高速增长，恩施城区交通出现了较严重的拥堵现象，专家建议，提高清江河上过江大桥的车辆通行能力可以适当改善城市的交通状况．以施州大桥为研究对象，已知大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到或超过200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度v=0；当车流密度不超过40辆/千米时，车流速度v=80千米/小时；研究表明：当40≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当x≥0时，求车流速度函数v（x）的表达式；通常为保护大桥，延长使用寿命，过桥车辆限定最高时速，试问这座大桥限速多少千米/小时？
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=v•v（x）达到最大值，并求出最大值．

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在40＜x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；
（2）当0≤x≤40，f（x）=80x≤3200；当40＜x≤200时，f(x)=-

1

2

x2+100x≤f(100)=5000，可得结论．

解答： 解：当x＞200时，v（x）=0；当0≤x≤40，v（x）=80；当40≤x≤200，
设v（x）=kx+b（a、b为常数）
则

40k+b=80 200k+b=0

，
∴k=-

1

2

，b=100，
∴v（x）=

80，0≤x≤40 - 1 2 x+100，40＜x≤200 0，x＞200

，
∵v（x）≤v（x）_max=80，
∴这座大桥限速为80千米/小时；
（2）f（x）=v•v（x）=

80x，0≤x≤40 - 1 2 x2+100x，40＜x≤200 0，x＞200

当0≤x≤40，f（x）=80x≤3200；
当40＜x≤200时，f(x)=-

1

2

x2+100x≤f(100)=5000，
所以当x=100辆/千米时，f（x）_max=5000辆/小时．

点评：本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．