Question

已知函数f（x）=

ax+c

x2+1

的图象过点（-1，-2），且满足f（-x）+f（x）=0．
（1）求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）若P（x₀，y₀）为函数y=f（x）的图象上任意一点，直线l与函数y=f（x）的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出c=0，a=4，得f（x）=

4x

x2+1

，求出f′（x）=

4-4x2

(x2+1)2

，从而求出函数的单调区间；
（2）通过对f′（x）求导，得出f′（x）的最值．从而求出K的范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）的图象过点（-1，-2），
∴f（-1）=

-a+c

2

=-2，
∴a=4+c，
又∵f（-x）+f（x）=0，
∴c=0，a=4
∴f（x）=

4x

x2+1

，
由f′（x）=

4-4x2

(x2+1)2

=0，
解得：x₁=-1，x₂=1
∴f（x）在x₁处取极小值-2； 在x₂处取极大值2，
∴x∈（-∞，-1）U（1，+∞）单调递减，x∈[-1，1]单调递增；
（2）∵f′（x）=

4-4x2

(x2+1)2

，
∴f″（x）=

8x5-16x3-24x

(x2+1)4

，
令f″（x）=0，解得x₁=-

3

，x₂=0，x₃=

3

，
∴f′（x）在x₁，x₃处取极小值，在x₂处取极大值
f′（0）=4，f′（-

3

）=f′（

3

）=-

1

2

，
∴直线L的斜率k的取值范围[-

1

2

，4]

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．