题目内容
已知椭圆的对称轴为坐标轴，与直线x+y=1交于两点A、B，又|AB|=2
，AB中点与椭圆中心连线的斜率为
，求椭圆方程．
| 2 |
| ||
| 2 |
考点：椭圆的标准方程
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），椭圆方程为ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b），由
，得a（x1+x2）（x1-x2）+b（y1+y2）（y1-y2）=0，由已知条件推导出b=
a，（
）2-4•
=4，由此能求出椭圆的方程．
|
| 2 |
| 2b |
| a+b |
| b-1 |
| a+b |
解答：
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），椭圆方程为ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b），
则A、B的坐标是方程组
的解．
即：a（x1+x2）（x1-x2）+b（y1+y2）（y1-y2）=0，
因为
=-1，所以
=
，
设AB中点C（xC，yC），则
=
=
，所以b=
a①
再由方程组消去y得（a+b）x2-2bx+b-1=0，
由|AB|=
=
=
=2
，
得（x1+x2）2-4x1x2=4，即（
）2-4•
=4．②
由①②解得a=
，b=
，
故所求的椭圆的方程为
+
=1．
则A、B的坐标是方程组
|
即：a（x1+x2）（x1-x2）+b（y1+y2）（y1-y2）=0，
因为
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| y1+y2 |
| x1+x2 |
| a |
| b |
设AB中点C（xC，yC），则
| 2yC |
| 2xC |
| a |
| b |
| ||
| 2 |
| 2 |
再由方程组消去y得（a+b）x2-2bx+b-1=0，
由|AB|=
| (x1-x2)2+(y1-y2)2 |
| 2(x1-x2)2 |
| 2[(x1+x2)2-4x1x2] |
| 2 |
得（x1+x2）2-4x1x2=4，即（
| 2b |
| a+b |
| b-1 |
| a+b |
由①②解得a=
| 1 |
| 3 |
| ||
| 3 |
故所求的椭圆的方程为
| x2 |
| 3 |
| ||
| 3 |
点评：本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要注意两点间距离公式的合理运用．
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