Question

是否存在角α和β，当α∈（-

π

2

，

π

2

），β∈（0，π）时，等式

sin(3π-α)= 2 ( π 2 -β) 3 cos(-α)=- 2 cos(π+β)

同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：首先由诱导公式简化已知条件并列方程组，再利用公式sin²β+cos²β=1解方程组，最后根据特殊角三角函数值求出满足要求的α、β．

解答： 解　存在α=

π

4

，β=

π

6

使等式同时成立．理由如下：
由由条件得

sinα= 2 sinβ 3 cosα= 2 cosβ

，
两式平方相加得，sin²α+3cos²α=2，∴cos²α=

1

2

即cosα=±

2

2

．
∵α∈（-

π

2

，

π

2

），∴α=

π

4

或α=-

π

4

．
将α=

π

4

代入②得cosβ=

3

2

．又β∈（0，π），
∴β=

π

6

，代入①可知，符合．
将α=-

π

4

代入②得β=

π

6

，代入①可知，不符合．
综上可知α=

π

4

，β=

π

6

．

点评：本题综合考查诱导公式、同角正余弦关系式及特殊角三角函数值．