Question

对于函数f（x），若命题“?x₀∈R，f（x₀）≠x₀”的否定为真命题，则称x₀为函数f（x）的不动点
（1）若函数f（x）=x²-mx+4有两个相异的不动点，求实数m的取值集合M；
（2）设不等式（x-a）（x-a-2）＞0的解集为N，若“x∈N”是“x∈M”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,特称命题

专题：函数的性质及应用,集合,简易逻辑

分析：（1）函数f（x）=x²-mx+4总有两个相异的不动点，则方程x²-mx+4=x有两个相异的实根，再利用判别式，解不等式即可得到m的范围．
（2）先求出N，再根据“x∈N”是“x∈M”的充分不必要条件，得到

a＞-5 a+2＜3

，解得即可

解答： 解：（1）“?x₀∈R，f（x₀）≠x₀”的否定为真命题，
∴f（x₀）=x₀，称x₀为函数f（x）的不动点
∵函数f（x）=x²-mx+4有两个相异的不动点
∴x²-mx+4=x，即x²-（m+1）x+4=0有两个不相等的实数根，
∴△=（m+1）²-4×4＞0，解得m＜-5，或m＞3，
故实数m的取值集合M=（-∞，-5）∪（3，+∞），
（2）∵不等式（x-a）（x-a-2）＞0的解集为N，
∴N=（-∞，a）∪（a+2，+∞），
∵x∈N”是“x∈M”的充分不必要条件，
∴

a＞-5 a+2＜3

，
解得-5＜a＜1，
故实数a的取值范围是（-5，1）

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及恒成立问题的处理以及命题条件，属于中档题