Question

设二次函数f（x）=x²+bx+4，（b∈R）与x轴有交点，若对一切非零实数x，都有f（x+

1

x

）≥0．
（1）求实数b的取值集合；
（2）若b=-4，设函数g（x）=f（x）+

a

f(x)

，x∈[3，2+

2

]，求h（a）=g（x）_max-g（x）_min的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得

△=b2-16≥0 -2≤- b 2 ≤2 f(-2)=4-2b+4≥0 f(2)=4+2b+4≥0

；从而解得．
（2）若b=-4，则f（x）=x²-4x+4，从而求出函数的值域，再令t=f（x），则1≤t≤2；从而化最值为m（t）=t+

a

t

，t∈[1，2]的最值，分类讨论即可．

解答： 解：（1）由题意知，

△=b2-16≥0 -2≤- b 2 ≤2 f(-2)=4-2b+4≥0 f(2)=4+2b+4≥0

；
解得，b=±4；
故实数b的取值集合为{-4，4}；
（2）若b=-4，则f（x）=x²-4x+4，
∵x∈[3，2+

2

]，
∴1≤f（x）≤2；
令t=f（x），则1≤t≤2；
g（x）=f（x）+

a

f(x)

，x∈[3，2+

2

]可化为
m（t）=t+

a

t

，t∈[1，2]；
m′（t）=

t2-a

t2

；
故当a≤1时，
m（t）=t+

a

t

在[1，2]上是增函数；
故g（x）_max=2+

a

2

，g（x）_min=1+a；
故h（a）=g（x）_max-g（x）_min
=1-

a

2

≥

1

2

；
当1＜a＜4时，
m（t）=t+

a

t

在[1，2]上先减后增；
故g（x）_min=2

a

；
而当1＜a＜2时，g（x）_max=2+

a

2

；
h（a）=2+

a

2

-2

a

＞3-2

2

；
当2≤a＜4时，
g（x）_max=1+a；
h（a）=1+a-2

a

≥3-2

2

；
当a≥4时，
m（t）=t+

a

t

在[1，2]上是减函数；
故g（x）_min=2+

a

2

，g（x）_max=1+a；
故h（a）=g（x）_max-g（x）_min
=

a

2

-1≥1；
综上所述，h（a）=g（x）_max-g（x）_min的最小值为3-2

2

．

点评：本题考查了二次函数的综合应用，属于中档题．