Question

19．某校为了在竞争中更好的发展，校领导专门聘请省内外专家组成“学校建设和发展”专家顾问委员会，项专家接脑、帮助学校制定未来五年发展规划，并召开了座谈会，问需于民，问计与民，广泛征询专家，普通老师和同学们对学校发展的意见和建议，此次座谈会共邀请了50名代表参加，他们分别是专家20人，普通教师15人，学生15人，现从50名代表中随机选出3名做典型发言．
（1）求选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率；
（2）若记选出的3名代表中专家的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用互斥事件概率加法公式能求出选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率．
（2）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）∵座谈会共邀请了50名代表参加，他们分别是专家20人，普通教师15人，学生15人，现从50名代表中随机选出3名做典型发言，
∴选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率：
$P=\frac{{C_{20}^1C_{15}^0C_{15}^2}}{{C_{50}^3}}+\frac{{C_{20}^2C_{15}^1C_{15}^0}}{{C_{50}^3}}=\frac{3}{28}+\frac{57}{392}=\frac{99}{392}$．（4分）
（2）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，（5分）
又$P（ξ=0）=\frac{{C_{30}^3}}{{C_{50}^3}}=\frac{29}{140}$，
$P（ξ=1）=\frac{{C_{20}^1C_{30}^2}}{{C_{50}^3}}=\frac{87}{196}$，
$P（ξ=2）=\frac{{C_{20}^2C_{30}^1}}{{C_{50}^3}}=\frac{57}{196}$，
$P（ξ=3）=\frac{{C_{20}^3}}{{C_{50}^3}}=\frac{57}{980}$，（9分）
∴随机变量ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{29}{140}$	$\frac{87}{196}$	$\frac{57}{196}$	$\frac{57}{980}$

∴Eξ=$0×\frac{29}{140}+1×\frac{87}{196}+2×\frac{57}{196}+3×\frac{57}{980}$=$\frac{6}{5}$．（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．