题目内容

9.已知向量$\overrightarrow{a}$=(2,1),$\overrightarrow{b}$=(x,y).若x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角的概率.

分析 本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件和满足条件的事件可以利用集合来表示,做出集合对应的面积,利用面积之比得到概率.

解答 解:设“向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角”为事件B,由向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角,可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$<0,即2x+y<0,且x≠2y.
基本事件空间为Ω={(x,y)|$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤2}\\{-1≤y≤2}\end{array}\right.$},
B={(x,y)|$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤2}\\{-1≤y≤2}\\{2x+y<0}\\{x≠2y}\end{array}\right.$},
则P(B)=$\frac{{U}_{B}}{{U}_{Ω}}$=$\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{3}{2})×2}{2×3}$=$\frac{1}{3}$,
即向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角概率是$\frac{1}{3}$.
故答案为$\frac{1}{3}$

点评 古典概型和几何概型是我们学习的两大概型,古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,而不能列举的就是几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到.

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