Question

4．已知数列{a_n}，{b_n}，其中a₁=1，a_n=$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{{b}_{n+1}{b}_{n}}$=$\frac{6}{{b}_{n+1}}$-$\frac{3}{{b}_{n}}$（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n-$\frac{4}{3}$}是等比数列；
（2）求数列{b_n}的通项公式及数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得${b_{n+1}}-\frac{4}{3}=2（{b_n}-\frac{4}{3}）$，由此能证明{${b}_{n}-\frac{4}{3}$}是首项为$\frac{2}{3}$，公比q=2的等比数列．
（2）由{${b}_{n}-\frac{4}{3}$}是首项为$\frac{2}{3}$，公比q=2的等比数列，得${b}_{n}=\frac{{2}^{n}}{3}+\frac{4}{3}$，从而${a_n}{b_n}=\frac{1}{2}{b_n}+1$，由此能求出数列{b_n}的通项公式及数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

解答 （1）证明：∵$\frac{4}{{{b_{n+1}}{b_n}}}=\frac{6}{{{b_{n+1}}}}-\frac{3}{b_n}$，即${b_{n+1}}=2{b_n}-\frac{4}{3}$，（2分）
∴${b_{n+1}}-\frac{4}{3}=2（{b_n}-\frac{4}{3}）$，
又${b_1}-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$≠0，
∴{${b}_{n}-\frac{4}{3}$}是首项为$\frac{2}{3}$，公比q=2的等比数列．（5分）
（2）解：由（1）知b_n-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}×{2}^{n-1}$=$\frac{{2}^{n}}{3}$，
∴${b}_{n}=\frac{{2}^{n}}{3}+\frac{4}{3}$，n≥1，（7分）
∵${a_n}=\frac{1}{b_n}+\frac{1}{2}$，∴${a_n}{b_n}=\frac{1}{2}{b_n}+1$，（9分）
∴S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
=$\frac{1}{2}（{b_1}+{b_2}+…+{b_n}）+n=\frac{{\frac{1}{3}（1-{2^n}）}}{1-2}+\frac{5}{3}n$
=$\frac{1}{3}（{2^n}+5n-1）$．（12分）

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法及数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．