Question

9．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球P的球面上，且AB=4，BC=3，则棱锥P-ABCD的体积为（　　）

• A． 5$\sqrt{3}$
• B． 30$\sqrt{3}$
• C． $\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$
• D． 10$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据题意求出矩形ABCD的对角线的长AC，利用球的截面圆性质求出球心到矩形的距离，从而得出棱锥P-ABCD的高，进而可得棱锥的体积．

解答 解：∵矩形ABCD中，AB=4，BC=3
∴矩形的对角线的长AC=5，
根据球P的半径为5，可得球心到矩形的距离d=$\frac{1}{2}$$\sqrt{100-25}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴棱锥P-ABCD的高h=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
可得P-ABCD的体积为V=$\frac{1}{3}×4×3×$$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题结合球内接矩形的形状，求棱锥的体积，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．