Question

18．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，并且a₂=2，S₅=15，数列{b_n}满足：${b_1}=\frac{1}{2}$，${b_{n+1}}=\frac{n+1}{n}{b_n}（n∈{N^*}）$，记数列{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和为S_n；
（2）求数列{b_n}的通项公式b_n及前n项和为T_n；求T_n的最值并求此时n的序号．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂=2，S₅=15，可得a₁+d=2，5a₁+$\frac{5×4}{2}$×d=15，解得a₁，d即可得出．
（2）{b_n}满足：${b_1}=\frac{1}{2}$，${b_{n+1}}=\frac{n+1}{n}{b_n}（n∈{N^*}）$，可得$\frac{{b}_{n+1}}{n+1}=\frac{{b}_{n}}{n}$=…=$\frac{{b}_{1}}{1}$=$\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₂=2，S₅=15，∴a₁+d=2，5a₁+$\frac{5×4}{2}$×d=15，
解得a₁=d=1．
∴${a_n}=n，{S_n}=\frac{{{n^2}+n}}{2}$．
（2）数列{b_n}满足：${b_1}=\frac{1}{2}$，${b_{n+1}}=\frac{n+1}{n}{b_n}（n∈{N^*}）$，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{n+1}=\frac{{b}_{n}}{n}$=…=$\frac{{b}_{1}}{1}$=$\frac{1}{2}$，
∴b_n=$\frac{1}{2}$n，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{n（\frac{1}{2}+\frac{1}{2}n）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n}{4}$．当n=1是T_n有最小值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．