Question

8．已知定义在R上的函数f（x）=m-$\frac{2}{{5}^{x}+1}$．
（1）判断函数f（x）的单调性递增；
（2）若f（x）是奇函数，求m的值1；
（3）若f（x）的值域为D，且D⊆[-3，1]，求m的取值范围[-1，1]．

Answer 1

分析 （1）根据函数的解析式判断函数的单调性即可；
（2）根据函数的奇函数，得到f（-x）+f（x）=0，求出m的值即可；
（3）求出D的范围，根据集合的包含关系判断即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=m-$\frac{2}{{5}^{x+1}}$，
函数y=$\frac{2}{{5}^{x+1}}$递减，故函数y=m-$\frac{2}{{5}^{x+1}}$递增；
∴函数f（x）在R上单调递增       …（2分）
（2）∵f（x）是R上的奇函数，
∴$f（x）+f（-x）=m-\frac{2}{{{5^x}+1}}+m-\frac{2}{{{5^{-x}}+1}}=0$…（4分）
即$2m-（\frac{2}{{{5^x}+1}}+\frac{{2×{5^x}}}{{{5^x}+1}}）=0⇒2m-2=0$，
∴m=1 …（6分）
（3）由${5^x}＞0⇒0＜\frac{2}{{{5^x}+1}}＜2⇒m-2＜m-\frac{2}{{{5^x}+1}}＜m$，D=（m-2，m）…（10分）
∵D⊆[-3，1]∴$\left\{{\begin{array}{l}{m-2≥-3}\\{m≤1}\end{array}}\right.⇒-1≤m≤1$，
∴m的取值范围是[-1，1]…（12分）
故答案为：递增；1；[-1，1]．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查函数的值域，是一道中档题．