Question

11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若$\frac{a}{cosA}=\frac{b}{2cosB}=\frac{c}{3cosC}$，求
（1）tanA：tanB：tanC的值；
（2）求角A的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得$\frac{sinA}{cosA}=\frac{sinB}{2cosB}=\frac{sinC}{3cosC}$，利用同角三角函数基本关系式化简求得tanA：tanB：tanC的值；
（2）由（1）可得：tanB=2tanA，tanC=3tanA，利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式可得tanA=$\frac{5tanA}{6ta{n}^{2}A-1}$，解得tanA，分类讨论可求A的值．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）∵$\frac{a}{cosA}=\frac{b}{2cosB}=\frac{c}{3cosC}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{sinA}{cosA}=\frac{sinB}{2cosB}=\frac{sinC}{3cosC}$，…2分
∴tanA=$\frac{1}{2}$tanB=$\frac{1}{3}$tanC，可得：tanA：tanB：tanC=1：2：3…4分
（2）由（1）可得：tanB=2tanA，tanC=3tanA，
∵A+B+C=π，
∴tanA=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\frac{5tanA}{6ta{n}^{2}A-1}$，…8分
解得：tanA=±1，或tanA=0，…12分
当tanA=0，舍去；
当tanA=1，A=$\frac{π}{4}$，
当tanA=-1，则tanB=-2，则A＞$\frac{π}{2}$，B$＞\frac{π}{2}$，矛盾，
综上，A=$\frac{π}{4}$…14分

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想、分类讨论思想的应用，属于中档题．