Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=

1

2

，a2=1，a_n+1=a_n-

1

4

an-1（n≥2）；a_n=

bn

2n

（n∈N^*）．
（Ⅰ）计算b₁，b₂，b₃，并求数列{b_n}，{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：对于任意的n＞3，都有a₁+a₂+a₃＞a₄+a₅+…+a_n．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）直接由数列递推式求得a₃，然后把数列{a_n}的前3项分别代入a_n=

bn

2n

求得b₁，b₂，b₃．将an=

1

2n

•bn，an+1=

1

2n+1

•bn+1，an-1=

1

2n-1

•bn-1代入an+1=an-

1

4

an-1化简得：b_n-1+b_n+1=2b_n，说明数列{b_n}是等差数列，求其通项公式后代入a_n=

bn

2n

得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法求出数列{a_n}的前n项和，得到对于任意的n∈N^*，总有S_n＜4，再求出a1+a2+a3=

19

8

＞2得答案．

解答： （Ⅰ）解：由a₁=

1

2

，a2=1，a_n+1=a_n-

1

4

an-1（n≥2），得a3=a2-

1

4

a1=1-

1

4

×

1

2

=

7

8

，
又a_n=

bn

2n

，
∴b₁=2a1=2×

1

2

=1，b₂=4a₂=4，b₃=8a3=8×

7

8

=7；
将an=

1

2n

•bn，an+1=

1

2n+1

•bn+1，an-1=

1

2n-1

•bn-1代入an+1=an-

1

4

an-1化简得：b_n-1+b_n+1=2b_n，
由等差中项的概念知数列{b_n}是等差数列．
由b₁=1，b₂=4知其公差为3，故b_n=3n-2．
代入a_n=

bn

2n

，得an=

3n-2

2n

；
（Ⅱ）证明：设数列{a_n}的前n项和为S_n．
则Sn=

1

2

+

4

22

+

7

23

+…+

3n-2

2n

，

1

2

Sn=

1

22

+

4

23

+…+

3n-5

2n

+

3n-2

2n+1

，
两式相减可得：

1 2 Sn= 1 2 + 3 22 + 3 23 +…+ 3 2n - 3n-2 2n+1 = 1 2 + 3 4 [1-( 1 2 )n-1] 1- 1 2 - 3n-2 2n+1 .

∴Sn=4-

3n+4

2n

．
可见，对于任意的n∈N^*，总有S_n＜4．
但a1+a2+a3=

19

8

＞2，
故当n＞3时，a₄+a₅+…+a_n＜2＜a₁+a₂+a₃．

点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了利用等差中项的概念确定数列为等差数列，考查了错位相减法求数列的和，考查了放缩法证明数列不等式，是压轴题．