Question

设-5＜a＜5，集合M={x∈N|2^x-（a+5）x-10=0}．若M≠?，则满足条件的所有实数a的和等于（　　）

• A、-

  3

  5

• B、-

  1

  10

• C、

  1

  10

• D、4

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：先由条件判断x≥4，由于函数的导数大于零，可得f（x）在x≥4时单调增，故至多只有一个零点．分别令
f（4）=0、f（5）=0、f（6）=0、f（7）=0，求得a的值，x≥7时，f（x）恒大于0，不会有零点．最后把求得的a值相加，即得所求．

解答： 解：解：∵-5＜a＜5，∴0＜a+5＜10，又∵x为自然数，且2^x=（a+5）x+10≥10，∴x≥4．
令f（x）=2^x-（a+5）x-10 得：f'（x）=2^x ln2-（a+5）≥16ln2-（a+5）＞0，
即f（x）在x∈（4，+∞）时单调增，故至多只有一个零点．
令f（4）=6-4（a+5）=0，解得 a=-

7

2

；
f（5）=22-5（a+5）=0，解得：a=-

3

5

；
f（6）=54-6（a+5）=0，得：a=4；
f（7）=118-7（a+5）＞0，x≥7时，f（x）恒大于0，不会有零点．
因此满足条件的a有3个，其和为-

7

2

-

3

5

+4=-

1

10

．
故选：B．

点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，求函数的导数，分类讨论的数学思想，属于中档题．