Question

求证：方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12345无实数解．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：证明题,反证法

分析：利用反证法，假设方程有实数解x=n+a，其中n属于Z，0≤a＜1，代入原方程化简、变形，得[2a]+[4a]+[8a]+[16a]+[32a]=12345-63n，可得195.04≤n≤195.95，而这样的整数n不存在，故原方程无实数解．

解答： 证明：假设方程有实数解x=n+a，其中n属于Z，0≤a＜1，于是，
[x]=n
[2x]=2n+[2a]
[4x]=4n+[4a]
[8x]=8n+[8a]
[16x]=16n+[16a]
[32x]=32n+[32a]
代入原方程化简、变形，得
[2a]+[4a]+[8a]+[16a]+[32a]=12345-63n
由于0≤a＜1，因而0≤[ka]≤k-1
故0≤12345-63n≤1+3+7+15+31=57
∴195.04≤n≤195.95
而这样的整数n不存在，
故原方程无实数解．

点评：本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用反证法的步骤是关键．