Question

定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差依次构成一个等比数列，则称这个数列为差等比数列，如果数列{a_n}满足a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2），a₁=1，a₂=3．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是差等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）S_n是数列{a_n}的前n项和，如果对任意的正整数n（n≥4），不等式S_n≤ka_n-9k恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）把数列的递推式变形，得到a_n+1-a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2），结合a₂-a₁=2≠0，可得数列{a_n}是差等比数列；
（Ⅱ）由数列{a_n+1-a_n}是等比数列求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求出数列{a_n}的前n项和，代入S_n≤ka_n-9k后分类k，构造函数g(n)=2+

18-n

2n-10

，求出其最大值后得答案．

解答： （Ⅰ）证明：由a_n+1=3a_n-2a_n-1，得a_n+1-a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2），
∵a₂-a₁=2≠0，
∴

an+1-an

an-an-1

=2，
∴数列{a_n}是差等比数列；
（Ⅱ）解：∵数列{a_n+1-a_n}是等比数列，首项a₂-a₁=2，公比为2，
∴an+1-an=2×2n-1=2n．
则a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1．
∴an=2n-1；
（Ⅲ）解：Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)
=(1+22+…+2n)-n=

1-2n+1

1-2

-n
=2ⁿ⁺¹-2-n．
由S_n≤ka_n-9k，得2ⁿ⁺¹-2-n≤k（2ⁿ-10），
∵n≥4，
∴2ⁿ-10＞0，
则k≥

2n+1-2-n

2n-10

=2+

18-n

2n-10

．
令g(n)=2+

18-n

2n-10

，
知n≥4时，g(n)max=g(4)=

13

3

，
∴k≥

13

3

．

点评：本题考查了数列与不等式的综合，考查了等比关系的确定，训练了数列的分组求和，考查了分离变量法，训练了函数构造法，是压轴题．