Question

D（x）=

1，x为有理数 0，x为无理数

，则给出下列结论
①函数D（x）的定义域为{x|x≠0}；        
②函数D（x）的值域[0，1]；
③函数D（x）是偶函数；                   
④函数D（x）不是单调函数．
⑤对任意的x∈R，都存在T₀∈R，使得D（x+T₀）=D（x）．
其中的正确的结论是

 

（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：由函数定义域的概念易知结论①不正确；由函数值域的概念易知结论②不正确；
由偶函数定义可证明结论③正确；由函数单调性定义，易知④结论正确；
由分段函数的定义和有理数与无理数的概念，可证明结论⑤正确．

解答： 解：由于D（x）=

1，x为有理数 0，x为无理数

，
则①函数的定义域为R，故①错；
②函数D（x）的值域是{0，1}，故②错；
③由于D（-x）=

1，x为有理数 0，x为无理数

=D（x），则D（x）是偶函数，故③正确；
④由于D（

2

）=0，D（2）=1，D（

5

）=0，显然函数D（x）不是单调函数，故④正确；
⑤当x为有理数时，D（x）=1，要使D（x+T₀）=D（x）=1，则存在T₀∈Q，使得x+T₀为有理数成立；
当x为无理数时，D（x）=0，要使D（x+T₀）=D（x）=0，则存在T₀∈R，使得x+T₀为无理数成立．
对任意的x∈R，都存在T₀∈R，使得D（x+T₀）=D（x）．故⑤正确．
故答案为：③④⑤

点评：本题考查分段函数及运用，考查函数的性质和运用，考查函数的单调性、奇偶性、值域等性质，考查推理能力，属于中档题．