Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AC=AB=AA₁，E是BC的中点．
（1）求异面直线AE与A₁C所成的角；
（2）若G为C₁C上一点，且EG⊥A₁C，试确定点G的位置；
（3）在（2）的条件下，求二面角C-AG-E的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取B₁C₁的中点E₁，连A₁E₁，E₁C，可得∠E₁A₁C是异面直线A与A₁C所成的角，利用余弦定理，即可求异面直线AE与A₁C所成的角；
（2）利用△E₁CC₁∽△GEC，即可确定点G的位置；
（3）连结AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC，可得∠PQE是二面角C-AG-E的平面角，即可求二面角C-AG-E的正切值．

解答： 解：（1）取B₁C₁的中点E₁，连A₁E₁，E₁C，
则AE∥A₁E₁，∴∠E₁A₁C是异面直线A与A₁C所成的角．
设AC=AB=AA₁=2a，
则A₁E₁=

2

a，A₁C=2

2

a，E₁C₁=

2

a，
∴E₁C=

6

a，
△A₁E₁C中，cos∠E₁A₁C=

2a2+8a2-6a2

2× 2 a×2 2 a

=

1

2

，
∴异面直线AE与A₁C所成的角为

π

3

．
（2）由（1）知，A₁E₁⊥B₁C₁，
又∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱∴A₁E₁⊥BCC₁B₁，
又∵EG⊥A₁C，∴CE₁⊥EG．
∴∠E₁CC₁=∠GEC，
∴△E₁CC₁∽△GEC，
∴

CG

CE

=

C1E1

C1C

即

CG

2 a

=

2 a

2a

得CG=a，
∴G是CC₁的中点； 
（3）连结AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC．
又∵平面ABC⊥平面ACC₁A₁，∴EP⊥平面ACC₁A₁
而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．
由EP=a，AP=a，PQ=

a

5

，得tan∠PQE=

PE

PQ

=

5

∴二面角C-AG-E的平面角正切值是

5

．

点评：本题考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，考查余弦定理的运用，正确找出空间角是关键．