Question

把圆周分成四等份，A是其中一个分点，动点P在四个分点上按逆时针方向前进，现在投掷一个质地均匀的正四面体，它的四个面上分别写有1，2，3，4四个数字，P从A点出发，按照正四面体底面上数字前进几个分点，转一周之前连续投掷．
（1）求点P恰好返回A点的概率；
（2）在点P转一周恰能返回A点的所有结果中，求至少需投掷3次点P才能返回A的概率．

Answer 1

考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

专题：概率与统计

分析：（1）由题意根据相互独立事件的概率乘法公式，分类讨论求得转一周之前点P恰好返回A点的概率．
（2）由（1），把投掷三次，点P恰好返回A点的概率和投掷四次，点P恰好返回A点的点P恰好返回A点的概率相加，即得所求．

解答： 解：（1）投掷一个质地均匀的正四面体，四面体每个面上的数字在底面上的概率是相等的，都等于

1

4

，
若投掷一次，点P恰好返回A点，则四面体的底面上的数字为4的概率为

1

4

，
若投掷二次，点P恰好返回A点，则四面体的底面上的数字分别为（1，3）、（3，1）、（2，2），
共3种结果，其概率为3×(

1

4

)3=

3

16

，
若投掷三次，点P恰好返回A点，则四面体的底面上的数字分别为（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1），
共3种结果，其概率为 3×(

1

4

)3=

3

64

，
若投掷四次，点P恰好返回A点，则四面体的底面上的数字分别为（1，1，1，1），共一种结果，
其概率为(

1

4

)4=

1

256

．
综上可得，点P恰好返回A点的概率为

1

4

+

3

16

+

3

64

+

1

256

=

125

256

．
（2）由（1）可得，投掷三次，点P恰好返回A点的概率为 3×(

1

4

)3=

3

64

，
投掷四次，点P恰好返回A点的点P恰好返回A点的概率为

1

256

，
故至少需投掷3次点P才能返回A的概率为

3

64

+

1

256

=

13

256

．

在点P转一周恰能返回A点的所有的8个结果中，至少需投掷3次点P才能返回A的结果有：
（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）、（1，1，1，1），共4种结果，
故至少需投掷3次点P才能返回A的概率为

4

8

=

1

2

．

点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式的应用，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．