Question

若双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-2）²+y²=1相切，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  4

  3

• B、

  2 3

  3

• C、2
• D、

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由于双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-2）²+y²=1相切，可得圆心（2，0）到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．

解答： 解：取双曲线的渐近线y=

b

a

x，即bx-ay=0．
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与（x-2）²+y²=1相切，
∴圆心（2，0）到渐近线的距离d=r，
∴

2b

a2+b2

=1，化为2b=c，
两边平方得c²=4b²=4（c²-a²），化为3c²=4a²．
∴e=

c

a

=

2 3

3

故选：B．

点评：本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质等基础知识与基本技能方法，属于中档题．