Question

已知数列{a_n}与{b_n}满足a₁+2a₂+…+na_n=n（n+1）b_n，n∈N⁺．
（Ⅰ）若a₁=1，a₂=2，求b₁，b₂；
（Ⅱ）若a_n=

n+1

n

，求证：b_n＞

1

2

；
（Ⅲ）若b_n=n²，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）将a₁=1，a₂=2代入a₁+2a₂+…+na_n=n（n+1）b_n求b₁，b₂；
（Ⅱ）由a_n=

n+1

n

可得na_n=n+1，由a₁+2a₂+…+na_n=n（n+1）b_n可得b_n=

1

2

n+3

n+1

，从而证明b_n＞

1

2

；
（Ⅲ）由b_n=n²代入a₁+2a₂+…+na_n=n（n+1）b_n，从而求数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，有a₁=2b₁=1，
则b₁=

1

2

，
当n=2时，有a₁+2a₂=2×（2+1）b₂，
又∵a₁=1，a₂=2，
∴b₂=

5

6

．
（Ⅱ）∵a_n=

n+1

n

，
∴na_n=n•

n+1

n

=n+1，
∴a₁+2a₂+…+na_n=

(n+3)n

2

=n（n+1）b_n，
∴b_n=

1

2

n+3

n+1

=

1

2

（1+

2

n+1

）＞

1

2

．
（Ⅲ）当n＞1时，
∵a₁+2a₂+…+na_n=n（n+1）b_n，①
∴a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=n（n-1）b_n-1，②
①-②得，
na_n=n（n+1）b_n-n（n-1）b_n-1，
即a_n=（n+1）b_n-（n-1）b_n-1，
又∵b_n=n²，
∴a_n=（n+1）n²-（n-1）（n-1）²
=4n²-3n+1，（n≥2）．
当n=1时，b₁=1²，又a₁=2b₁=2也符合上式．
∴a_n=4n²-3n+1 （n∈N⁺）．

点评：本题考查了数列的化简与求和，同时考查了整体代换的方法，化简比较复杂，属于难题．