Question

已知抛物线y²=2px过点M（

1

4

，

2

2

），A，B是抛物线上的点，直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，则直线AB恒过定点

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出抛物线方程，再利用直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，可得y₁y₂=

1

2

，求出直线方程令y=0，可得直线AB恒过定点（-

1

4

，0）．

解答： 解：∵抛物线y²=2px过点M（

1

4

，

2

2

），
∴p=1，
∴抛物线方程为y²=2x，
设A（

y12

2

，y₁），B（

y22

2

，y₂），则
∵直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，
∴8=

2

y1

•

2

y2

，
∴y₁y₂=

1

2

，
直线AB的方程为y-y₁=

2

y2+y1

（x-

y12

2

），
令y=0，可得x=-

1

2

y₁y₂=-

1

4

，
∴直线AB恒过定点（-

1

4

，0）．
故答案为：（-

1

4

，0）．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．