Question

2．已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．
（Ⅰ） 求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 已知点B（-3，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 根据勾股定理，建立方程，进而求得动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意，直线PQ的方程代入化简，利用角平分线的性质可得k_PB=-k_QB，可化为：-16tm+（3+m）8t=0，所以：m=3，l：x=ty+3，即可得到定点．

解答 解：（Ⅰ）设动圆圆心P（x，y），则|PM|²=|PA|²=4²+x²即：（x-4）²+y²=4²+x²，
即动圆圆心的轨迹方程为：y²=8x，
（Ⅱ） 设两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）设不垂直于x轴的直线：l：x=ty+m（t≠0），则$\left\{{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{{y^2}=8x}\end{array}}\right.$有：y²-8ty-8m=0，所以：y₁+y₂=8t，y₁y₂=-8m，
因为x轴是∠PBQ的角平分线，
所以：k_BP+k_BQ=0即：$\frac{y_1}{{{x_1}+3}}+\frac{y_2}{{{x_2}+3}}=0$即：2ty₁y₂+（m+3）（y₁+y₂）=0，
则：-16tm+（3+m）8t=0，所以：m=3l：x=ty+3所以直线l过定点（3，0）．

点评 本题综合考查了抛物线的标准方程、直线与抛物线相交问题、直线方程及过定点问题、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力，属于中档题．