Question

20．已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）对任意a∈[1，4），且存在x∈[1，e³]，使得不等式f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0求出x的范围，即可得到答案；
（2）问题转化为b≤a+$\frac{1-lnx}{x}$在[1，e³]恒成立，依据不等式恒成立时所取的条件，求出实数b的取值范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
．f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
若a≤0，则f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上递减；
若a＞0，则由f'（x）＞0得：x＞$\frac{1}{a}$；
由f'（x）＜0得：0＜x＜$\frac{1}{a}$
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递增．
（2）由f（x）≥bx-2得：b≤a+$\frac{1-lnx}{x}$，
令g（x）=a+$\frac{1-lnx}{x}$，
则g′（x）=$\frac{lnx-2}{{x}^{2}}$由g'（x）＞0得：x＞e²；
由g'（x）＜0得：0＜x＜e²．
所以，g（x）在[1，e²）上递减，在（e²，e³]递增．
∴g（x）_max=g（e³）=a-$\frac{2}{{e}^{3}}$，
∴b≤a-$\frac{2}{{e}^{3}}$，∵a∈[1，4），
∴b≤1-$\frac{2}{{e}^{3}}$．

点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．