Question

11．已知函数f（x）=|2x+4|+|x-a|．
（Ⅰ）当a＜-2时，f（x）的最小值为1，求实数a的值．
（Ⅱ）当f（x）=|x+a+4|时，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a＜2时，写出分段函数，利用函数f（x）的最小值为1，求实数a的值．
（Ⅱ）由条件求得（2x+4）•（x-a）≤0，分类讨论求得x的范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+4|+|x-a|的零点为-2和a，
当a＜-2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-4+a，x＜a}\\{-x-4-a，a≤x≤-2}\\{3x+4-a，x＞-2}\end{array}\right.$，
∴f（x）_min=f（-2）=2-4-a=1，得a=-3＜-2（合题意），即a=-3．
（Ⅱ）由f（x）=|2x+4|+|x-a|，可得|2x+4|+|x-a|=|x+a+4|．
由于|2x+4|+|x-a|≥|x+a+4|，当且仅当（2x+4）•（x-a）≤0时，取等号．
当a=-2时，可得x=-2，故x的范围为{2}；当a＞-2时，可得-2≤x≤a，故x的范围为[-2，a]；
当a＜-2时，可得a≤x≤-2，故x的范围为[a，-2]．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．