Question

14．如图，菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E，F分别为DC、BC的中点，则$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{EF}$，再计算数量积．

解答 解：∵四边形ABCD是边长为1菱形，E，F分别为DC、BC的中点，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=1×1×cos60°=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{EF}$=（$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$）•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AD}$²-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$-$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{8}$．
故答案为$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．