Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的离心率等于

3

2

，点P（2，

3

）在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，过点Q（2，0）的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上？若存在，求出一个满足条件的t值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可得：

c a = 3 2 4 a2 + 3 b2 =1 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）当l⊥x轴时，M(2，

3

)，N(2，-

3

)，联立直线AN、BM的方程可得G(8，-2

3

)．猜测常数t=8．
即存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），G（8，t）．把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，由于

AG

=（12，t），

AN

=（x₂+4，y₂），利用三点共线可得t（x₂+4）-12y₂=0，只要证明三点B，M，G共线即可．利用向量的坐标运算及其根与系数的关系即可证明．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的离心率等于

3

2

，点P（2，

3

）在椭圆上．
∴

c a = 3 2 4 a2 + 3 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=16，b²=4，c=2

3

．∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

4

=1．
（2）当l⊥x轴时，M(2，

3

)，N(2，-

3

)，直线AN、BM的方程分别为y=

3

-6

(x+4)，y=

3

2-4

(x-4)．
分别化为：

3

x+6y+4

3

=0，

3

x+2y-4

3

=0．联立解得G(8，-2

3

)．猜测常数t=8．
即存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．
证明：当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），G（8，t）．
联立

y=k(x-2) x2+4y2=16

，化为（1+4k²）x²-16k²x+16k²-16=0．
∴x1+x2=

16k2

1+4k2

，x1x2=

16k2-16

1+4k2

．
∵

AG

=（12，t），

AN

=（x₂+4，y₂），三点A，N，G共线．
∴t（x₂+4）-12y₂=0，∴t=

12y2

x2+4

=

12k(x2-2)

x2+4

由于

BG

=（4，t），

BM

=（x₁-4，y₁），要证明三点B，M，G共线．
即证明t（x₁-4）-4y₁=0．即证明

12k(x2-2)(x1-4)

x2+4

-4k（x₁-2）=0，
而3（x₂-2）（x₁-4）-（x₁-2）（x₂+4）=2x₁x₂-10（x₁+x₂）+32=

32(k2-1)

1+4k2

-

160k2

1+4k2

+32=0，
∴

12k(x2-2)(x1-4)

x2+4

-4k（x₁-2）=0成立．
∴存在定直线l′：x=8，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．
综上可知：存在定直线l′：x=8，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的坐标运算、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．