Question

已知函数f（x）=

ax

ax+1

（a＞0，且a≠1），[m]表示不超过实数m的最大整数，则函数[f（x）-

1

2

]+[f（x）+

1

2

]的值域是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：分离函数的解析式，求出函数的值域是（0，1），再根据f（x）-

1

2

与f（x）+

1

2

的范围即可．

解答： 解：∵f（x）=

ax

ax+1

=1-

1

ax+1

，∴f（x）-

1

2

=

1

2

-

1

ax+1

，f（x）+

1

2

=

3

2

-

1

ax+1

．
∵a^x+1＞1，∴0＜

1

ax+1

＜1，下面分类讨论：
（1）当0＜

1

ax+1

＜

1

2

时，0＜

1

2

-

1

ax+1

＜1，即0＜f（x）-

1

2

＜1，）∵[m]表示不超过实数m的最大整数
∴[f（x）-

1

2

]=0，∴1＜

3

2

-

1

ax+1

＜

3

2

，∴[f（x）+

1

2

]=1，∴[f（x）-

1

2

]+[f（x）+

1

2

]=1．
（2）当

1

ax+1

=

1

2

，

1

2

-

1

ax+1

=0，

3

2

-

1

ax+1

=1，∴[f（x）-

1

2

]=0，∴[f（x）+

1

2

]=1．
∴[f（x）-

1

2

]+[f（x）+

1

2

]=1．
（3）当

1

2

＜

1

ax+1

＜1时，∴0＜

3

2

-

1

ax+1

＜1∴-1＜

1

2

-

1

ax+1

＜0，
∴[f（x）-

1

2

]=-1，∴[f（x）+

1

2

]=0，∴[f（x）-

1

2

]+[f（x）+

1

2

]=-1，故函数的值域是{-1，1}
故答案为：{-1，1}

点评：本题考查抽象函数的运算，属于中档题．