如图.等腰△ABC和等边△ADE的顶点A.D.B在同一条直线上.AC=BC=12.点D是AB的中点.∠ACB=120°.△MNF与△ADE完全重合.将△MNF从△ADE处沿AB方向以3个单位每秒的速度平移.设运动时间为t秒.当点M到达点B时停止运动．(1)在整个平移过程中.求出NF.MF分别过点C时t的值,(2)在整个平移过程中.△MNF与△ABC重叠� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

如图，等腰△ABC和等边△ADE的顶点A、D、B在同一条直线上，AC=BC=12，点D是AB的中点，∠ACB=120°，△MNF与△ADE完全重合，将△MNF从△ADE处沿AB方向以

3

个单位每秒的速度平移，设运动时间为t秒（t＞0），当点M到达点B时停止运动．
（1）在整个平移过程中，求出NF、MF分别过点C时t的值；
（2）在整个平移过程中，△MNF与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，以及相应的自变量t的取值范围；
（3）当停止运动时，将△MNF绕点N沿顺时针方向旋转，设旋转角为α，0°＜α＜180°．在旋转过程中，MN与AC、AE交于点G、点H．以点A、G、H为顶点的三角形能否是等腰三角形，若是，请求出AG的长，若不是，请说明理由．

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：由题意，以AB为x轴，以A为垂足，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，从而标出点的坐标，
（1）直线AE的方程为y=

3

x，直线ED的方程为y=-

3

x+18，NF、MF可看成平移得到，代入求t；
（2）写出S=

1

2

×(6

3

+

3

t)2×sin30°×cos30°-

1

2

×(

3

t)2sin120°，0＜t≤2

1

2

×122×sin120°-

1

2

•(

3

t)2•sin120°-

1

2

×(6

3

-

3

t)2sin120°，2＜t≤4

1

2

(12

3

-

3

t)2sin30°cos30°-

1

2

(6

3

-

3

t)2sin120°，4＜t≤6

1

2

×(12

3

-

3

t)2sin30°cos30°，6＜t≤12

并化简；
（3）作图象辅助，分α=45°，90°，135°进行讨论即可．

解答：

解：如图：以AB为x轴，以A为垂足，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则由题意可得A（0，0），B（2×12×cos30°，0），D（12×cos30°，0），
C（12×cos30°，12sin30°），E（

1

2

×12×cos30°，12×cos30°×sin60°）
即A（0，0），B（12

3

，0），D（6

3

，0），C（6

3

，6），E（3

3

，9）；
（1）则直线AE的方程为y=

3

x，直线ED的方程为y=-

3

x+18，
则NF、MF的方程分别为y=-

3

（x-

3

t）+18，y=

3

（x-

3

t），
将C（6

3

，6）代入可得，
6=-

3

（6

3

-

3

t）+18，6=

3

（6

3

-

3

t），
解得，t=2，t=4；
故NF、MF分别过点C时t的值为2，4；
（2）由题意，S=

1

2

×(6

3

+

3

t)2×sin30°×cos30°-

1

2

×(

3

t)2sin120°，0＜t≤2

1

2

×122×sin120°-

1

2

•(

3

t)2•sin120°-

1

2

×(6

3

-

3

t)2sin120°，2＜t≤4

1

2

(12

3

-

3

t)2sin30°cos30°-

1

2

(6

3

-

3

t)2sin120°，4＜t≤6

1

2

×(12

3

-

3

t)2sin30°cos30°，6＜t≤12

，
即S=

-3

3

t2+36

3

t+108

3

8

，0＜t≤2

-

3

3

2

t2+9

3

t+9

3

，2＜t≤4

3

3

8

(-t2+72)，4＜t≤6

3

3

8

(12-t)2，6＜t≤12

；
（3）作图如下，

①当α=45°时，AH=AG，
由正弦定理可得，

AH

sin45°

=

AN

sin75°

；
故AG=AH=AN•

sin45°

sin75°

=18

3

•（

3

-1）
=54-18

3

；
②当α=90°时，AG=GH，
AG=18

3

÷

3

2

=36；
③当α=135°时，AH=AG，
由正弦定理可得，

AG

sin135°

=

AN

sin15°

；
故AG=AN•

sin135°

sin15°

=18

3

•（

3

+1）
=54+18

3

．

点评：本题化简非常困难，讨论也很困难，属于难题．

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