Question

已知等差数列{a_n}的首项为2，公差为1，符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记b_n=[log₃（a_n-1）]，S_n为数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求S3n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等差数列的通项公式和题意即可得出a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=n+1可得b_n=[log₃n]，当3^k≤n＜3^k+1时，[log₃n]=k，k∈N，先表示出S3n，利用等比数列的前n项和公式与“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）因为等差数列{a_n}的首项为2，公差为1，
所以a_n=2+（n-1）×1=n+1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=[log₃（a_n-1）]=[log₃n]，
当3^k≤n＜3^k+1时，[log₃n]=k，k∈N，
所以S3n=[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]]+…+[[log₃8]+]+[log₃9]+[log₃10]+…+[log₃3ⁿ]
=0+0+1×6+2×18+3×54+…+（n-1）×2•3^n-1+n
=0+0+1×2×3+2×2×3²+3×2×3³+…+（n-1）×2•3^n-1+n，
设s=1×2×3+2×2×3²+3×2×3³+…+（n-1）×2•3^n-1，①
3s=1×2×3²+2×2×3³+3×2×3⁴+…+（n-1）×2•3ⁿ，②
①-②得，-2s=6+2（3²+3³+3⁴+…+3^n-1）-（n-1）×2•3ⁿ
=6+2×

9(1-3n-2)

1-3

-（n-1）×2•3ⁿ=-3+（-2n+3）•3ⁿ
则s=

1

2

[3+(2n-3)•3n]，
所以S3n=

1

2

[3+(2n-3)•3n]+n．

点评：本题考查等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式，错位相减法求数列的前n项和，新定义，对数性质，考查了猜想归纳、分析问题和解决问题的能力，考差了推理能力和计算能力，属于难题．